Каково доказательство того, что точки а(2, 1,0), в(0,4,-3), с(-2,3,-5), d(2,-3,1) образуют трапецию? И каковы длины ее

Для доказательства, что точки A(2, 1, 0), B(0, 4, -3), C(-2, 3, -5), D(2, -3, 1) образуют трапецию, мы должны убедиться, что одна из сторон параллельна другой стороне. Для этого нам нужно вычислить векторы, соответствующие каждой стороне и сравнить их направления.

Основания трапеции — это стороны AB и CD. Давайте начнем с вычисления вектора, соответствующего стороне AB.

Вектор AB = (x2 — x1, y2 — y1, z2 — z1)
= (0 — 2, 4 — 1, -3 — 0)
= (-2, 3, -3)

Теперь вычислим вектор, соответствующий стороне CD.

Вектор CD = (x4 — x3, y4 — y3, z4 — z3)
= (2 — (-2), -3 — 3, 1 — (-5))
= (4, -6, 6)

Теперь сравним эти векторы, чтобы узнать, являются ли стороны AB и CD параллельными.

Если векторы коллинеарны (то есть параллельны), то их координаты пропорциональны. Для проверки этого, найдем соотношения между координатами векторов AB и CD.

Сравнивая координаты, мы видим, что каждая координата относится друг к другу как -2 к 4, 3 к -6 и -3 к 6. Мы можем заметить, что координаты вектора CD получены умножением координат вектора AB на -2.

Таким образом, сторона CD параллельна стороне AB, что доказывает, что точки A, B, C и D образуют трапецию.

Теперь давайте вычислим длины оснований трапеции AB и CD.

Длина стороны AB вычисляется по формуле расстояния между двумя точками:

AB = sqrt((x2 — x1)^2 + (y2 — y1)^2 + (z2 — z1)^2)
= sqrt((-2)^2 + (3)^2 + (-3)^2)
= sqrt(4 + 9 + 9)
= sqrt(22)

Таким образом, длина стороны AB равна sqrt(22).

Длина стороны CD также вычисляется по формуле расстояния между двумя точками:

CD = sqrt((x4 — x3)^2 + (y4 — y3)^2 + (z4 — z3)^2)
= sqrt((4)^2 + (-6)^2 + (6)^2)
= sqrt(16 + 36 + 36)
= sqrt(88)

Таким образом, длина стороны CD равна sqrt(88).

Итак, точки A(2, 1, 0), B(0, 4, -3), C(-2, 3, -5), D(2, -3, 1) образуют трапецию, при этом длина стороны AB равна sqrt(22), а длина стороны CD равна sqrt(88).