Как можно выразить вектор bo с использованием векторов a и b, если в треугольнике abc точка m является серединой стороны ab, точка n — серединой стороны ac, а отрезки cm и bn пересекаются в точке o, при том, что ba=a и bc = b?
Ответ на вопрос:
Обозначим вектор a = ba и вектор b = bc.
Так как точка m является серединой стороны ab, то вектор am равен половине вектора ab. То есть, am = ab/2.
Аналогично, так как точка n является серединой стороны ac, то вектор an равен половине вектора ac. То есть, an = ac/2.
Поскольку отрезки cm и bn пересекаются в точке o, то их векторы должны быть коллинеарными.
Поэтому можем записать соотношение между векторами:
(компоненты вектора cm) / (компоненты вектора bn) = const.
Распишем эти векторы:
cm = co + om (где co — вектор co, om — вектор om)
bn = bo + on (где bo — вектор bo, on — вектор on)
Подставим векторы cm и bn в уравнение:
(co + om) / (bo + on) = const.
Мы знаем, что векторы cm и bn равны половине соответствующих векторов a и b:
co + om = a/2
bo + on = b/2
Подставим их в уравнение:
(a/2) / (b/2) = const.
Домножим обе части уравнения на 2:
a / b = const.
Так как ba=a и bc=b, можем записать:
a / bc = const.
Умножим обе части уравнения на bc:
bc * (a / bc) = const. * bc
Тогда:
a = const. * bc
Таким образом, можно выразить вектор bo с использованием векторов a и b:
bo = const. * bc
где const. — некоторая константа.