Какую дугу можно удалить из данного графа, чтобы сохранить связность между вершинами и не образовать новых циклов?

Чтобы удалить дугу из данного графа, сохраняя при этом связность между вершинами и не образуя новых циклов, нужно найти и удалить дугу, которая является мостом в графе.

Мостом называется дуга, удаление которой разбивает граф на две отдельные компоненты связности.

Для того чтобы найти мосты в графе, можно использовать алгоритм поиска в глубину (Depth-first Search, DFS). Вот пошаговое решение:

1. Выбираем произвольную вершину графа и помечаем ее как посещенную.
2. Просматриваем все смежные с ней вершины. Если какая-то из смежных вершин уже была посещена, то игнорируем ее и переходим к следующей. Если же смежная вершина еще не была посещена, то рекурсивно запускаем алгоритм поиска в глубину от нее.
3. Если в результате поиска в глубину из смежной вершины не были обнаружены дуги, ведущие в уже посещенную ранее вершину или ее предков, то удаляем текущую дугу.

Повторяем шаги 2-3 для всех вершин графа.

Таким образом, дуги, которые не были удалены в результате алгоритма поиска в глубину, являются мостами и могут быть удалены, сохраняя связность между вершинами и не создавая новых циклов в графе.