Яким є розмір площини перерізу піраміди, яка паралельна її основі та ділить її висоту у співвідношенні 2 : 3, якщо вона має площу, яка менша на 84 см2 від площі основи піраміди?
Ответ на вопрос:
Пусть площадь основы пирамиды равна S_1, а площадь плоскости перереза равна S_2. Также пусть высота пирамиды равна h, а высота перереза равна h_2 (h_2 = h * (2/3) = (2h)/3).
Мы знаем, что площадь плоскости перереза меньше площади основы на 84 см², то есть S_1 — S_2 = 84.
Также у нас есть информация о соотношении высоты пирамиды и высоты перереза, то есть h/h_2 = 3/2.
Для нахождения площади плоскости перереза можно воспользоваться свойством подобности треугольников, которое гласит, что отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату отношения соответствующих сторон.
Так как высоты пирамиды и перереза имеют соотношение 3/2, то и основы имеют это же соотношение. Значит, стороны основы пирамиды тоже имеют соотношение 3/2.
Пусть сторона основы пирамиды равна a. Тогда сторона перереза будет равна (2/3) * a.
Так как площадь фигуры пропорциональна квадрату ее стороны, получаем следующее:
(S_1 — S_2)/S_1 = [(a^2) — ((2a/3)^2)]/(a^2) = 84/S_1.
Упрощаем эту выражение:
84/S_1 = (a^2 — (4a^2)/9)/(a^2).
Меняем правую часть равенства на общий знаменатель:
84/S_1 = (9a^2 — 4a^2)/(9a^2) = 5a^2/(9a^2) = 5/9.
Теперь можно найти площадь перереза:
84/S_1 = 5/9.
Умножаем обе части на S_1:
84 = (5/9)S_1.
Теперь можно найти площадь перереза:
S_2 = S_1 — 84 = S_1 — (5/9)S_1 = (4/9)S_1.
Таким образом, площадь плоскости перереза пирамиды равна (4/9) от площади основы пирамиды.