При каких значениях x и y векторы m=(6x+2)a+4b+(3y+4)c и n=(2x-1)a+b(x+1)c будут параллельны (векторы a, b, c некомпланарны)?
Ответ на вопрос:
Вектор m имеет координаты (6x+2, 4, 3y+4), а вектор n имеет координаты (2x-1, x+1, b).
Для начала, посмотрим на координаты x. У нас есть два вектора (6x+2, 4, 3y+4) и (2x-1, x+1, b), и мы хотим, чтобы они были пропорциональны.
Поэтому отношение соответствующих координат x должно быть одинаковым для обоих векторов:
(6x+2)/(2x-1) = 4/(x+1)
Раскроем скобки и упростим уравнение:
(6x+2)(x+1) = 4(2x-1)
6x^2 + 8x + 2 = 8x — 4
6x^2 + 8x — 8x + 2 + 4 = 0
6x^2 + 6 = 0
Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем заметить, что каждый член уравнения делится на 6, поэтому мы можем сократить на 6:
x^2 + 1 = 0
Мы знаем, что уравнение x^2 + 1 = 0 не имеет действительных корней, поэтому у нас нет ограничений на значение x.
Теперь обратимся к координатам y. Мы хотим, чтобы отношение соответствующих координат y было одинаковым для обоих векторов:
(3y+4)/b = 4/(x+1)
Отбросим b, так как мы не знаем его значение, и перенесем оставшиеся члены уравнения на противоположные стороны:
(x+1)/(3y+4) = 4/b
(x+1) = (12y + 16)/b
Таким образом, требуется, чтобы (12y + 16)/b было константой. Мы также знаем, что векторы a, b, c некомпланарны, поэтому b не может быть нулем. То есть b не может быть 0, у нас нет ограничений на значение x и мы можем выбрать любые значения x, и значение (12y + 16)/b должно быть константой.
Итак, чтобы векторы m и n были параллельны, x может принимать любое значение, а (12y + 16)/b должно быть константой.