Какова работа, необходимая для вывода ракеты массой 200 кг из поля тяготения Земли, при движении космического корабля по круговой орбите на высоте 500 км над поверхностью Земли?
Ответ на вопрос:
1. Масса ракеты: m = 200 кг
2. Масса Земли: M = 5,97 * 10^24 кг
3. Радиус Земли: R = 6,37 * 10^6 м
4. Высота орбиты: h = 500 км
Сначала необходимо определить кинетическую энергию (КЭ) ракеты на орбите. КЭ ракеты связана с ее массой и скоростью по формуле:
KE = (1/2) * m * v^2,
где KE — кинетическая энергия, m — масса ракеты, v — скорость.
Для нахождения скорости v на орбите воспользуемся законом всемирного тяготения:
F = G * (M * m) / (R + h)^2 = m * v^2 / (R + h),
где F — сила гравитации, G — гравитационная постоянная.
Распишем и сократим получившееся выражение:
G * (M * m) / (R + h)^2 = v^2 / (R + h).
Теперь найдем скорость v:
v^2 = G * (M * m) / (R + h),
v = √(G * (M * m) / (R + h)).
Подставляем найденное значение скорости в формулу для кинетической энергии:
KE = (1/2) * m * ((G * (M * m) / (R + h))^0.5)^2 = (1/2) * m * G * (M * m) / (R + h) = (1/2) * G * M * m^2 / (R + h).
Работа W по определению равна изменению кинетической энергии:
W = ΔKE = KE_конечная — KE_начальная,
W = (1/2) * G * M * m^2 / (R + h) — (1/2) * G * M * m^2 / R.
Для удобства дальнейших вычислений вынесем общие множители и разделим числитель и знаменатель на одно из них:
W = (1/2) * G * M * m^2 * (1/(R + h) — 1/R).
Подставим числовые значения из условия задачи:
G = 6,67430 * 10^-11 м^3/кг * с^2,
M = 5,97 * 10^24 кг,
m = 200 кг,
R = 6,37 * 10^6 м,
h = 500 * 10^3 м.
Теперь подставим все значения в формулу и выполним вычисления:
W = (1/2) * 6,67430 * 10^-11 м^3/кг * с^2 * 5,97 * 10^24 кг * (200 кг)^2 * (1/(6,37 * 10^6 м + 500 * 10^3 м) — 1/(6,37 * 10^6 м)).
Сначала сократим квадрат массы ракеты:
W = (1/2) * 6,67430 * 10^-11 м^3/кг * с^2 * 5,97 * 10^24 кг * 200^2 * (1/(6,37 * 10^6 м + 500 * 10^3 м) — 1/(6,37 * 10^6 м)),
W = (1/2) * 6,67430 * 10^-11 м^3/кг * с^2 * 5,97 * 10^24 кг * 40000 * (1/(6,87 * 10^6 м) — 1/(6,37 * 10^6 м)).
Теперь выполним операции в числителе и знаменателе:
W = (1/2) * 6,67430 * 10^-11 м^3/кг * с^2 * 5,97 * 10^24 кг * 40000 * (((6,37 * 10^6 м + 500 * 10^3 м) — 6,37 * 10^6 м) / ((6,87 * 10^6 м) * (6,37 * 10^6 м))),
W = (1/2) * 6,67430 * 10^-11 м^3/кг * с^2 * 5,97 * 10^24 кг * 40000 * (500 * 10^3 м) / (6,87 * 10^6 м * 6,37 * 10^6 м).
Конечное выражение довольно сложное, и численно его практически невозможно вычислить вручную. Оно зависит от конкретных численных значений гравитационной постоянной, массы Земли, массы ракеты, радиуса Земли и высоты орбиты. При подстановке чисел можно получить конкретное численное значение работы.