Какое значение имеет ctg a/2, если sin a — cos a = -1,4 и a находится в четвертой четверти?
Ответ на вопрос:
Для начала, нам нужно найти значения sin a и cos a отдельно.
В четвертой четверти, sin a 0. Так как sin a — cos a = -1.4, то sin a должно быть меньше чем cos a.
Мы можем записать данное уравнение как sin a = cos a — 1.4.
Теперь, мы можем использовать формулу тригонометрического тождества sin^2 a + cos^2 a = 1, чтобы найти cos a:
(cos a — 1.4)^2 + cos^2 a = 1.
Раскроем скобки:
cos^2 a — 2 * 1.4 * cos a + 1.4^2 + cos^2 a = 1.
Теперь объединим подобные слагаемые:
2 * cos^2 a — 2 * 1.4 * cos a + 1.4^2 = 1.
Перенесем все термины в одну сторону и получим квадратное уравнение:
2 * cos^2 a — 2 * 1.4 * cos a + 1.4^2 — 1 = 0.
Simplify:
2 * cos^2 a — 2 * 1.4 * cos a + 1.96 — 1 = 0.
2 * cos^2 a — 2 * 1.4 * cos a + 0.96 = 0.
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение используя квадратную формулу:
cos a = (-b +/- sqrt(b^2 — 4ac)) / 2a.
В нашем случае, a = 2, b = -2 * 1.4, c = 0.96.
cos a = (-(- 2 * 1.4) +/- sqrt((-2 * 1.4)^2 — 4 * 2 * 0.96)) / (2 * 2).
cos a = (2.8 +/- sqrt(7.84 — 7.68)) / 4.
cos a = (2.8 +/- sqrt(0.16)) / 4.
cos a = (2.8 +/- 0.4) / 4.
cos a = 0.7 +/- 0.1.
Так как cos a > 0 в четвертой четверти, мы выбираем cos a = 0.7 — 0.1 = 0.6.
Теперь мы можем найти sin a, используя исходное уравнение sin a = cos a — 1.4:
sin a = 0.6 — 1.4 = -0.8.
Теперь мы можем найти значение ctg a/2.
ctg a/2 = 1/tan a/2.
ctg a/2 = 1/(sin a/2)/(cos a/2).
ctg a/2 = cos a/2 / sin a/2.
Нам необходимо найти cos a/2 и sin a/2.
Мы можем использовать половинное угловое тождество для нахождения этих значений:
sin a/2 = sqrt((1 — cos a)/2) и cos a/2 = sqrt((1 + cos a)/2).
sin a/2 = sqrt((1 — 0.6)/2) = sqrt(0.2) = 0.447.
cos a/2 = sqrt((1 + 0.6)/2) = sqrt(1.6/2) = sqrt(0.8) = 0.894.
Теперь мы можем найти ctg a/2:
ctg a/2 = 0.894 / 0.447 = 2.
Таким образом, значение ctg a/2 равно 2.