А) Какое уравнение нужно решить: (4sin²x-1)√x²-64π²=0?
б) Какие корни этого уравнения принадлежат отрезку [25;30]?
Ответ на вопрос:
Предположим, что один из множителей равен нулю: 4sin²x-1=0 или (√x²-8π)=0 или (√x²+8π)=0.
1) Решим уравнение 4sin²x-1=0:
Добавим 1 к обеим сторонам уравнения: 4sin²x=1.
Разделим обе стороны на 4: sin²x=1/4.
Возьмем квадратный корень от обеих сторон: sinx=±√(1/4) = ±1/2.
Так как sinx=±1/2 имеет несколько решений в пределах 0 ≤ x ≤ 2π, мы должны найти все углы, значения синуса которых равно 1/2 или -1/2. Эти углы это π/6, 5π/6, 7π/6 и 11π/6. Поэтому уравнение 4sin²x-1=0 имеет решения x=π/6, 5π/6, 7π/6 и 11π/6.
2) Решим уравнение (√x²-8π)=0:
Добавим 8π к обеим сторонам уравнения: √x² = 8π.
Возведем обе стороны уравнения в квадрат: x² = 64π².
Возьмем квадратный корень от обеих сторон: x=±8π.
Таким образом, уравнение (√x²-8π)=0 имеет корни x=8π и x=-8π.
3) Решим уравнение (√x²+8π)=0:
Добавим -8π к обеим сторонам уравнения: √x² = -8π.
Поскольку нельзя взять квадратный корень из отрицательного числа, это уравнение не имеет решений.
б) Чтобы определить, какие корни удовлетворяют условию задачи и принадлежат отрезку [25;30], подставим значения x=25 и x=30 в каждое уравнение, найденные нашей предыдущей работы.
1) Подставим x=25. Тогда:
4sin²(25)-1 ≠ 0, потому что sin²(25) > 0.
√(25)²-8π = 0-8π< 0, так как -8π 0, так как 8π > 0.
Таким образом, ни одно из уравнений не принадлежит отрезку [25;30].
2) Подставим x=30. Тогда:
4sin²(30)-1 ≠ 0, потому что sin²(30) > 0.
√(30)²-8π = 0-8π< 0, так как -8π 0, так как 8π > 0.
Таким образом, ни одно из уравнений не принадлежит отрезку [25;30].
Итак, мы не нашли ни одного корня уравнения (4sin²x-1)√x²-64π²=0, который бы принадлежал отрезку [25;30].